Severus: Perché π è un numero irrazionale?
9 Responses to “Severus: Perché π è un numero irrazionale?”
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LA dimostrazione dell’irrazionalità di \pi (pi greca) è relativamente recente (o non facile e carina come l’irrazionalità di sqr(2) di Pitagora), da Wikipedia:
π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi, come dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882.
Una dimostrazione + moderna (della trascendenza) si trova ad esempio nell’App.1 di Serge LAng “ALgebra” (Inglese), richiede nozioni di variabili complesse e di teoria dei campi.
Una dimostrazione della (pi+ semplice) irrazionalità viene riportata in
http://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazione_della_irrazionalit%C3%A0_di_%CF%80
Tuttavia il problema è di spunto per altre considerazioni, ad esempio la diagonale di un quadrato di lato 1 ha lunghezza (T. di Pitagora) “radice di 2”, il quale è definito come quel numero il cui quadrato è 2, e Pitagora (così si dice) fu il primo a rendersi conto che un tale numero non esisteva!…Tra i numeri come erano allora concepiti, cioè interi o frazioni intere di somme di interi (cioè razionali). Però la figura del quadrato era lì, e la diagonale aveva comunque la sua lunghezza.
Ebbene si dirà che \pi altro non è che la metà della lunghezza di una circonferenza di raggio 1..ma qual’è la lunghezza, o meglio cos’è la lunghezza di una circonferenza? Si perché a parte forse negli ultimi (mesi?) di liceo, per lunghezza di una circonferenza si intende un qualcosa di empirico, si fa una circonferenza (….), e l’idea è quella di eseguire una misura con un segmento curvabile che fa da metro. Cioè una definizione fisico-empirica, tecnica diciamo. MA in tal senso dire che \pi = 3, 14 (come molto rispondono sempre) va bene, cioè un valore approssimato adatto nei vari calcoli o applicazioni. Ma allora che senso ha dire se \pi è irrazionale o no? Bisognerebbe dire che (come Archimede fece prima di Newton) la lunghezza della circonferenza è definita attraverso un processo di limite (poligonali interne il cui perimetro cresce tendendo ad un valore maggiorato dal perimetro di ogni poligonale esterna ecc. ). E questo vale anche per il concetto di numero irrazionale, ( o quello di punto), quindi noi usiamo implicitamente il concetto di limite , ma non potendo introdurlo da subito (per ovvi motivi) lo arrangiamo con qualcosa che è utilizzabile, ma non è ben posto concettualmente, e certe domande come l’irrazionalità di \pi richiedono invece una chiara e (come si dice buona, cioè ben posta) definizione di concetti, che gli alunni non hanno, proprio per l’approccio semi-empirico dei corsi si matematica.
Una dimostrazione: Dallo sviluppo di Taylor della tangente per x=-1 sui ottiene lo sviluppo in serie di pi/4.
Si procede com in http://www.coolissues.com/mathematics/Pi/pi.htm .
In modo + diretto (ma forse meno elementare) : http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183510788
Per quanto attiene all’irrazionalità di pi greco concordo sul fatto che una definizione rigorosa di numero reale sia indubbiamente necessaria, anche se la dimostrazione di Legendre riduce l’aspetto “intuitivo” al fatto che non ci siano numeri interi tra zero e uno, il che non è poco. Allo stesso modo la dimostrazione di Gauss del teorema fondamentale dell’algebra (la prima dimostrazione riconosciuta come non carente e quindi valida), dovendo necessariamente far uso dell’ipotesi del continuo (visto che il teorema non vale in Q), si riduce al fatto che dovendo passare dall’interno all’esterno di un cerchio si deve necessariamente toccare la circonferenza. So bene che una trattazione assiomatica e rigorosa è senza dubbio più consona alla tradizione matematica ma purtroppo allontana gli studenti dall’argomento mentre le dimostrazioni come quella di Gauss e di Legendre, pur non perdendo di validità, hanno il pregio di non sommare alla difficoltà dei calcoli anche l’astrattezza di formalismi poco adeguati a chi si accosta all’argomento la prima volta. Quanto ai numeri primi sono lieto che il commento offra lo spunto per accennare (o parlare se l’argomento appassiona) alle crittografie. Si può trasformare una frase in un numero e viceversa, come mostrato nell’esempio. E’ chiaro che N contiene ogni possibile sequenza (incluse le opere di Shakespeare, la Bibbia, le nostre biografie e la Storia del Mondo, nonchè tutte le possibili varianti di quanto sopra) ma credo sia ancora aperto il problema se altrettanto si può dire della parte decimale di radice di due (o, in generale, dei numeri irrazionali) o di pi greco (o dei numeri trascendenti). Pubblicheremo a breve la dimostrazione di trascendenza del numero di Nepero, in una forma accessibile ad uno studente di quinta che conosca già le derivate e gli integrali.
Severus.
La frase “ipotesi del continuo” (inesistenza di cardinalità intermedie tra i naturali e i reali (continuo) può essere fraintesa (magari per chi la cerca nel Web) con l’ipotesi che intendevi tu, cioè chi la spazio di lavoro sono i reali o piano cartesiano (reale). Certamente è improponibile un corso assiomatico astratto (in nome del rigore e coerenza) però è bene alzare un pochino la questione, per sviluppare la conoscenza (o coscienza ?) concettuale migliore.
Se magari trovo dimostrazioni più elementari del teorema fondamentale dell’algebra di quella classica che usa il teorema di Jordan (intuitivo ma difficile da dimostrare, tant’è che viene ben dopo Gauss) la posto. Per quello che dici tu N non può essere in biezione con le sequenze infinite di numeri interi (tipo parte decimale di numeri irrazionali) proprio perché sarebbe in corrispondenza biunivoca con i numeri reali R, e tale corrispondenza per un teorema di Cantor (e poiché la potenza di R e quella delle parti di N) non si può avere, la cosa non richiede ipotesi del continuo o assioma della scelta.
Sì, hai ragione. Mi riferivo al fatto che in R, a differenza di Q, ogni insieme ha un sup e un inf, ovvero all’assioma di Dedekind. La formalizzazione dell’assioma è assai poco intuitiva e la nota simbologia epsilon-delta non aiuta, per questo mettevo in risalto l’intuitività della formulazione gaussiana sull’interno e l’esterno del cerchio. Severus.
La dimostrazione di Cantor ci dice che R deve avere una cardinalità superiore ad N quindi è ovvio che altrettanto vale per Q. Intendevo riferirmi al fatto che, nella dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra non basta dire che esistono degli elementi in R ma non in Q ma bisogna usare, sotto qualche forma, l’assioma di Dedekind. Seguirà la dimostrazione di trascendenza di e, per quanto attiene a quella di pi greco mi servirebbe di dimostrare in qualche modo semplice che se a è algebrico anche ai lo è, dove i è l’unità immaginaria. So che il prodotto di numeri algebrici lo è ma è lungo fare tutta la teoria al riguardo. Severus.
QUesta è una dimostrazione abbastanza semplice:
Dallo sviluppo in serie della tangente , per x:= -1 si ha lo sviluppo in serie di pi/4 (http://mathworld.wolfram.com/LeibnizSeries.html)
Si procede quindi come in http://www.coolissues.com/mathematics/Pi/pi.htm
In modo più diretto (ma un po meno elementare) : http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183510788.
Ho postato la dimostrazione che mi avevi chiesto, ma questo Blog non prende i commenti, e non sio sa bene dove andare a cercarli, non so , sono un matematico..ma non un mago.
Grazie per la dimostrazione, ciò renderà possibile creare una versione accessibile agli studenti della dimostrazione di trascendenza di pi greco, cosa che finora non era stata possibile. Per quanto attiene ai commenti essi non sono visibili da subito perchè devo prima approvarli (c’è anche gente che scrive spropositi) e io mi collego circa una o due volte al giorno. Severus.