I ragazzi della 1° D del Liceo Scientifico “F. Redi” di Arezzo presentano…..Aneddoti, trucchi e stregonerie: un nuovo modo di vivere la matematica per vederla con occhi diversi.

La matematica, il sogno, il gioco: il Mago dei Numeri

 H. M. Ensensberger

 “L’autore del libro a mio parere ha cercato di portare la matematica a misura di bambino, rendendola divertente, proprio come un gioco. Ha voluto così dimostrare che non è soltanto una materia fredda e oggettiva, ma, se capita, può diventare davvero un mondo interessante e immenso, tutto da scoprire. Il sottotitolo del libro infatti è: “Dedicato a chi ha paura della matematica”. Il suo invito è quello di imparare a rivalutarla, senza pregiudizi, come una vera e propria fonte di sapere.

Secondo me l’insegnamento che l’autore tenta di diffondere può essere esteso non solo ai ragazzi, ma anche ai loro insegnanti: se riusciranno a far apprezzare questa materia, e a dimostrare di esserne realmente innamorati faranno scaturire grandi passioni tra tutti i loro alunni.”

(Cristiana Lalletti)

Il romanzo per bambini “Il Mago dei Numeri” vede Roberto, un bambino di 12 anni, protagonista di un’avventura fantastica alla scoperta del magico mondo della matematica. Guidato in questo viaggio da Teplotaxl, il Mago dei Numeri, imparerà a divertirsi con la matematica e a non averne paura. La narrazione è strutturata in capitoli corrispondenti a 12 sogni.

Durante la prima notte il Mago dei numeri spiega a Roberto i concetti di infinito e di divisibilità dei numeri. Per far ciò si serve dell’esempio del chewing gum: infatti se prendessimo in considerazione tutte le gomme da masticare fino ad ora consumate nel mondo e ipotizzassimo di aggiungerne un’altra e poi un’altra ancora, potremmo non finire mai di aggiungerle: dopo l’ultima potremmo aggiungerne sempre un’altra e quindi andremmo avanti all’infinito. Al contrario potremmo prendere una gomma da masticare e dividerla in parti uguali per un certo numero di persone. Ipotizzando che le persone in questione siano due, il chewing gum verrebbe diviso a metà, cioè in due parti uguali; ma se le persone fossero cento o mille il chewing gum verrebbe diviso in cento o mille parti uguali (probabilmente invisibili ad occhio umano, però pur sempre esistenti). Seguendo questo ragionamento il Mago dimostra al ragazzo che il chewing gum può essere diviso per una quantità infinita di volte e che pertanto possiamo dividere un numero all’infinito.” (Giulio Vichi)

 Con numeri saltellanti il Mago dei Numeri intende i quadrati. Egli infatti dice che per ottenere 4 il 2 deve “saltellare” 2 volte. Con il verbo “saltellare” in realtà si intende “moltiplicare per se stesso”. Inoltre un numero più è grande più il suo “salto” sarà grande e veloce. Con questo si intende che se faccio la potenza di un numero più grande, essa sarà un numero ancora più grande.

L’operazione della “rapa” di un numero invece non è altro che la radice del numero stesso, e quindi, essendo la radice l’operazione inversa della potenza, la “rapa” viene spiegata come un “saltello” all’indietro. Se due saltellato due volte fa quattro (2²=4), la rapa di quattro sarà due (√4=2), perché basta fare un saltello all’indietro.

Con l’operazione della rapa il Mago introduce un nuovo tipo di numeri: quelli irrazionali (chiamati “irragionevoli”). Il Mago prima spiega a Roberto che ci sono dei numeri che quando vengono divisi hanno come risultato dei numeri che vanno all’infinito dopo la virgola, ma che ripetono una sequenza ordinata di cifre (numeri illimitati periodici), come per esempio 7:11=0,63636363…= o 6:7=0,857142857142…=. Poi il Mago dice a Roberto di fare con la calcolatrice l’operazione “rapa” di 2 e nello schermo compare questo numero: √2=1,41421356237309… Come possiamo vedere in esso non c’è alcuna ripetizione ordinata di cifre, e perciò questo è un numero illimitato aperiodico, e quindi “irragionevole”. La √2 è un numero particolare, soprattutto per quanto riguarda la figura del quadrato: consideriamo il quadrato con i lati blu (nell’immagine sottostante) e diciamo che il suo lato misura 1; la sua area misurerà 1²=1. Disegniamo la sua diagonale di rosso e costruiamo su di essa un quadrato con i lati dello stesso colore; il nuovo quadrato contiene i due triangoli contrassegnati dalle linee nere, uno già in posizione e quello opposto trasportato di sopra (come si può vedere nel disegno); gli altri due triangoli che rimangono per formare il quadrato, sono equivalenti ai primi due; l’area del secondo quadrato sarà il doppio di quella del primo, e quindi misurerà 1×2=2; la diagonale, che è lato del quadrato rosso, sarà uguale alla √2.


Sono citati anche una particolare tipologia di numeri: quelli triangolari. Sapendo che il primo numero triangolare è 1, per trovare il secondo dovrò sommare il precedente (quindi 1) con il numero naturale corrispondente alla sua posizione (quindi 2). Il secondo numero triangolare sarà 1+2=3. Questa operazione sarà svolta per trovare tutti i numeri triangolari e quindi per il terzo dovrò fare 3(il precedente)+3(la posizione che esso occupa nella sequenza dei numeri triangolari)=6, il quarto 6+4=10, il quinto 10+5=15, e proseguendo con questo ragionamento fino all’infinito. La sequenza dei primi numeri triangolari è: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78… Il Mago spiega a Roberto anche altre particolari caratteristiche dei numeri triangolari: ogni numero naturale è costituito al massimo dalla somma di tre numeri triangolari (51=15+36 e 83=10+28+45); se sommo numeri triangolari consecutivi ottengo i numeri quadrati (1+3=4=2², 3+6=9=3², 6+10=16=4², 10+15=25=5², … ); se sommo i numeri naturali fino ad n, la loro somma mi dà il numero triangolare che occupa nella sequenza la posizione n (1+2+3+4+5=15 che è il quinto numero triangolare; 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78 che è il dodicesimo numero triangolare).

I numeri “principi” sono invece i numeri primi. Il mago li spiega a Roberto dicendogli che questi numeri non si possono dividere, o meglio che se si dividono per qualsiasi numero, che non sia 1 o il numero stesso, la loro divisione ha il resto. Per trovare inoltre i numeri “principi” fino a 50 viene utilizzato il metodo del Crivello di Eratostene, ovvero una tabella in cui sono scritti tutti i primi 50 numeri, ad esclusione dello 0 e dell’1, che non sono né numeri “principi” né numeri non “principi”, dove mano a mano che si va avanti si eliminano prima tutti i pari, ovvero i multipli si due, poi i multipli di tre rimasti, i multipli di cinque rimasti e infine l’unico multiplo di sette che rimane, ovvero il suo “saltellato” di due volte: il 49. I numeri “principi” sono quelli che a questo punto rimangono nella tabella.

  2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

(Samuele Caneschi)

I bum sono i numeri fattoriali e per spiegarli il Mago dei numeri prende come

riferimento gli studenti della classe di Roberto. Egli riflette riguardo alle possibili sistemazioni degli studenti nei loro banchi. Per esempio con un solo studente esiste un’unica possibilità (1!), con due studenti ne abbiamo due (2!), mentre con tre si arriva già a sei (3!),…

Studenti Possibilità

1 1=1!

2 1×2=2!

3 1x2x3=6!

4 1x2x3x4=24! Quindi maggiore è il numero degli studenti più alte saranno le possibilità per loro di sedersi in posti diversi. (Elena Treghini)

Il mago Bonaccione è in realtà Leonardo Pisano detto Fibonaccie i numeri bonaccioni sono in realtà i cosiddetti “Numeri di Fibonacci”. Egli fu il più veloce a trovare la risposta al seguente quesito postogli ad un torneo di abachisti e algoritmisti:

“Quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?”

Questa fu la sua risposta:

Alla fine del primo mese si ha la prima coppia ed una coppia da questa generata; alla fine del secondo mese si aggiunge una terza coppia, ma vi sono due coppie in più, perché anche la seconda coppia ha cominciato a generare, portando il conto a 5 coppie, e così via. Il ragionamento prosegue con la seguente successione:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393…

Ogni nuovo numero non rappresenta altro che la somma dei due che lo precedono.”(Costanza Bordiga)

 

Per dimostrare che tutti i numeri naturali sono tanti quanti la loro metà il mago fa schierare due file di numeri: quelli naturali e quelli dispari. Poi ogni numero della prima fila dà la mano ad uno della seconda, così si formano delle coppie e nessuno rimane fuori quindi ciò dimostra che i numeri naturali sono tanti quanti la loro metà. (Tea Castellucci)

Il Mago dei numeri paragona la conoscenza matematica ad un fiume con dei massi su cui devi passare per raggiungere l’altra sponda. Alcuni di questi massi sono parti della matematica già dimostrate, su cui, quindi, siamo certi di poter passare senza cadere in acqua. Se ti viene in mente una nuova congettura e cerchi di dimostrarla, provi ad arrivare al prossimo masso che trovi nel percorso; se ci arrivi, salti e raggiungi l’altra sponda. Se arrivi lì hai terminato di provare un concetto matematico, visto che la riva è la dimostrazione. Quando purtroppo però non riesci a passare nel masso successivo, significa che non sei riuscito a dimostrare la tua idea o che la tua idea è sbagliata. E un concetto matematico non vale niente se non può essere dimostrato.(Francesco Bianchini)

Secondo me, l’autore ci ha voluto far vedere il mondo complicato della matematica con occhi diversi. Tutte quelle regole a volte quasi impossibili se paragonate a qualcosa di più tangibile, divengono improvvisamente semplici esercizi. Quindi tutta la magia matematica si trasforma in un’azione della nostra quotidianità.(Greta Tappeti)

L’autore del libro attraverso questo racconto prevalentemente fantastico, ma con parti che rispecchiano anche la realtà e la matematica vera, vuole farci capire quanto molte volte sia difficile comprendere (se siamo nei panni di Roberto) o insegnare ( se siamo nella situazione in cui si trova il Mago dei numeri) la matematica. Questo non vuol dire però che sia impossibile amare questa materia che può essere considerata una vera e propriafilosofia a cui molte persone hanno dedicato la lorovita per elaborare nuove congetture. Se dovessi consigliare questo libro a qualcuno lo farei non solo a ragazzi come noi, ma anche a persone adulte e in particolare agli insegnanti di matematica che potrebbero trarre dei consigli da questo libro per quanto riguarda il modo di insegnare agli alunni, riuscendo a coinvolgerli così tanto come fa il Mago dei numeri.(GianLuca Bardi)

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