Criterio del 4
Il fantastico quattro: il criterio che stabilisce l’irrazionalità di un numero.
di Francesco Bianchini, Costanza Bordiga, Samuele Caneschi, Tea Castellucci, Cristiana Lalletti e Greta Tappeti della classe 2°D in collaborazione con la professoressa Vanna Padrini
Il “Criterio del 4” è utile per verificare facilmente l’irrazionalità della radice di un numero intero. Questa condizione sufficiente consiste nel dividere per 4 un numero naturale, che per convenzione potremmo indicare con m, e analizzare il suo resto. Infatti se questo è diverso da 0 o da 1, si può dimostrare, tramite due lemmi, teoremi minori utilizzati per dimostrare un teorema maggiore, che √m è irrazionale.
Prendendo come esempio m=3, la sua radice quadrata sarà irrazionale in quanto 3 diviso 4 dà come resto 3.
Esponiamo adesso i due lemmi con le relative dimostrazioni.
LEMMA 1: Se m è un quadrato perfetto, allora il resto della divisione per 4 è 0 oppure 1.
Dimostrazione: Per ipotesi abbiamo m=d²; d può essere scritto anche 4q+r, come se si applicasse la riprova della divisione espressa dalla formula dividendo = divisore × quoziente + resto. Occorre ricordare che il resto r ha valori compresi tra 0 e 3.
Sostituendo otteniamo che m=(4q+r)² = 16q²+8qr+r².
La dimostrazione adesso consisterà nel sostituire a r, che è il resto della divisione di d per 4, i valori che può assumere, e nel dividere m per 4 per verificare se il suo resto r₁ è 0 o 1.
- Se r=0, allora m=16q²; perciò m/4=4q² con r₁=0;
- Se r=1, allora m=16q²+8q+1; perciò m/4=4q²+2q con r₁=1;
- Se r=2, allora m=16q²+16q+4; perciò m/4=4q²+4q+1 con r₁=0;
- Se r=3, allora m=16q²+24q+9 (il 9 si può considerare 8+1); perciò m/4=4q²+6q+2 con r₁=1.
Sulla base di quanto osservato in precedenza il resto della divisione di m per 4 è sempre 0 o 1.
LEMMA 2: Se √m è razionale allora m è un quadrato perfetto.
Dimostrazione: Poiché radice quadrata di m è razionale è possibile scriverla sottoforma di a/b, quindi m=a²/b².
Scomponendo in fattori primi a e b, otteniamo:
dove p₁, p₂ e pk sono dei fattori e e₁, e₂, ek, f₁, f₂ e fk sono i loro esponenti.
Sostituendo i valori trovati dalla scomposizione di a e b, possiamo scrivere m come segue:
Da questa sostituzione possiamo capire che m è un quadrato perfetto, infatti nell’ultimo passaggio questo viene scritto come il quadrato della quantità tra parentesi.
DIMOSTRAZIONE DEL CRITERIO DEL 4
La dimostrazione del criterio del 4 si opera sulla base di quanto appena dimostrato, utilizzando la proposizione contronominale.
Se come proposizione di partenza abbiamo A à B, la sua contronominale sarà ¬B à ¬A e sarà equivalente alla prima.
Quindi prendiamo prima il lemma 1 e applichiamo la contronominale, negando la tesi e di conseguenza l’ipotesi: se il resto della divisione di m per 4 è diverso da 0 e 1, allora m non è un quadrato perfetto; poi applichiamo la contronominale anche nel lemma 2: se m non è un quadrato perfetto la sua radice quadrata è irrazionale. Per la proprietà transitiva possiamo affermare che se il resto della divisione di m per 4 è diverso da 0 o 1, √m è irrazionale.
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